martes, 21 de abril de 2009

APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuacion diferencial es la intervienen derivadas de una o mas funciones. Dependiendo del numero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
-Ecuaciones diferenciales ordinarias: Aquella que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente
-Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o mas variables.

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingenieria para el modelamiento de fenomenos fisiscos. Su uso es comun tanto en ciencias aplicadas, como en ciencia fundamentales (fisica, quimica, biologia) o matematicas, como en economia.
El estudio de las Ecuaciones Diferenciales Algebraicas es un área de reciente consolidación. Con el fin de motivar una definición de ellas, en este trabajo se presenta un ejemplo de modelación en circuitos eléctricos que ilustra una de sus características.
Es conocido que el comportamiento dinámico de numerosos problemas que se presentan en Física, Química y en aplicaciones técnicas, puede ser modelado a través de ecuaciones diferenciales. En ocasiones, con el fin de tomar en cuenta leyes tales como las de conservación, Leyes de Kirchhoff en circuitos eléctricos, o restricciones cinemáticas o geométricas, etcétera, se deben incorporar a los modelos ecuaciones algebraicas implícitas no lineales. Esto da lugar a la aparición de ecuaciones que eran llamadas, en la década de los sesenta, dependiendo del área: singulares, implícitas, diferenciales-algebraicas, descriptoras, espacio-estado generalizadas, no-canónicas, no-causales, degeneradas, semi-estado restringidas, modelo de orden reducido y sistemas no estándar. A partir de la década de los setenta estas ecuaciones fueron paulatinamente reconocidas como formando parte de una misma clase de ecuaciones bajo el nombre genérico de Ecuaciones Diferenciales Algebraicas (EDA’s).
Constituidas como un particular campo de estudio e investigación, durante los últimos veinte años del siglo XIX han sido objeto de interés y recibido atención directa, tanto en cuestiones analíticas como en lo referente a su resolución numérica.
Existen cuatro tipos en los que podemos distinguir las aplicaciones de las ecuaciones donde surgen EDA´s:
Modelación de redes
Perturbación singular
Discretazacion de ecuaciones en derivadas parciales
Problemas variaciones con restricciones
Con la modelación de los circuitos eléctricos empezaron a surgir inicialmente la mayoría de las EDA´s. Así, retomando este inicio para ilustración del tipo de ecuaciones que se consideran Diferenciales Algebraicas consideraremos el circuito de un amplificador de transistor como se observa en la figura, cuenta con un transistor, dos fuentes de voltaje, tres capacitores y seis resistencias, Ue(t) es el voltaje de entrada, Ub=6 el voltaje de operación, Ui(t), i=1,2,3,4,5, son los voltajes en los nodos 1,2,3,4,5, y el ultimo es el voltaje de salida.





En el estudio de los circuitos se dispone de las siguientes leyes:

1. La suma de todas las corrientes fluyendo hacia un punto es igual a la suma de las corrientes fluyendo desde el punto a esta se le conoce como la primera ley de Kirchhoff
2. La suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo de un circuito es cer esta es la segunda ley de Kirchhoff.
3. La caída de voltaje esntre dos puntos de un circuito es igual al producto de la corriente y la resistencia entre dichos puntos esta es la ley de Ohm.

La ley de Ohm nos dice que para una resistencia se satisface:

I = U / R

y la corriente a traves de un condensador cumple con la igualdad

I=C dU/dt

donde R y C son constantes caracteristicas del elemento pertinente, y U es el voltaje.
El transistor en el circuito actua como amplificador en el sentido de que la corriente desde el nodo 4 al nodo 3 es 99 veces mas grande que la del nodo 2 al nodo 3, y depende de la diferencia de voltaje U2 − U3 es un modo no lineal.
Al aplicar la primera ley de Kirchhoff a cada uno de los 5 nodos del circuito de la figura pasada nos permite obtener el sistema de ecuaciones que describen el circuito.




Un circuito variable se consigue tomando como constantes para los elementos involucrados los siguientes valores:

Para las resistencias:


Para los condensadores:


Y para el transistor, la dependencia no lineal de la diferencia de voltaje se puede dar con la funcion:


Con la señal escogida como:

Este sistema de ecuaciones expresadas matricialmente es:

Es decir, un sistema de forma:

Donde M es una matriz singular de rango 3. La cual es una Ecuacion Diferencial Algebraiuca no lineal.
Existen varios tipos de Ecuacion Diferencial Algebraica, el mas sencillo es le lineal de coeficiente constante, que tiene la siguiente forma:

donde A, B ∈ ℜn x n, son matrices cuadradas y t ∈ ℜ, es una variable real.
Para este tipo de ecuaciones, que aparecen principalmente en el estudio de circuitos electricos, en la decada de los sesenta y principios de los setenta se realizaron investigaciones sobre la teoria analitica de ellas y de algunos sistemas de coeficiente constante no lineales, asi como de su resolucion numerica; muchos de los resultados obtenidos pueden verse en los trabajos de Campbell.
Otras de la areas donde aparecen las EDA´s de coeficiente constante lineal es en Teoria de control: en ella un sistema lineal es de la forma siguiente:

Donde A,B,C,D son matrices constantes reales, x es el estado del sistema, u es el conrol e y es la salida del sistema. Si consideramos la salida y como conocida y queremos encontrar el estado x o el control u, entonces el sistema anterior puede ser visto como la ecuacion diferencial algebraica.

Para hacer mas evidente el porque de los adjetivos diferencial y algebraica en la denominacion de estas ecuaciones podemos sumar las ecuaciones de los nodos 1 y 2, para obtener la siguiente ecuacion algebraica:

sumando las ecuaciones de los nodos 4 y 5 obtenemos otra ecuacion algebraica:

Despues de todo esto obtenemos el sistema de ecuaciones formado por 3 ec. diferenciales correspondientes a los nodos 1,2,3,4,5, y por 2 ec. algebraicas anteriores. Este sistema con la que introduccion, Un ejemplo seri los cambios de variables:

Se escribe de la siguiente forma:


El anterior sistema tiene la siguiente forma:

Debido a la presencia de la parte algebraica de las EDA’s su integración puede causar
dificultades esenciales, en contraste con la de las ecuaciones diferenciales ordinarias explícitas. Las restricciones definen una variedad en la cual deben estar las soluciones de la EDA, así que los valores iniciales deben ser escogidos de tal manera que satisfagan las restricciones, es decir, que estén en la variedad; además, en su resolución numérica las soluciones computadas no deben alejarse demasiado de la
variedad. Este fenómeno, llamado deriva, se presenta cuando los métodos tradicionales para ecuaciones diferenciales ordinarias explícitas son aplicados
directamente a la EDA, por lo que deben ser modificados para aplicarse a las EDA’s.
Actualmente se encuentra en pleno desarrollo la investigación sobre los métodos
numéricos más adecuados a los distintos tipos de EDA’s, constituyendo una interesante y activa área del análisis numérico.

BIBLIOGRAFIAS
http://semana.mat.uson.mx/MemoriasXVII/XII/Garcia%20Duran.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Usos

ELECTRONICA TRES
HARRY MILEAF
EDIT. LIMUSA

CIRCUITOS ELECTRICOS
JOSEPH A. EDMINISTER Y MAHMOOD NAHVI
EDIT. MC GRAW HILL

ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
BOYCE, DIPRIMA
EDIT. LIMUSA WILE

ECUACIONES DIFERENCIALES
ISABEL CARMONA JOVER
EDIT. PEARSON

Circuito eléctricos
Introducción al análisis y diseño
Porf/ suboda
ED. Alfaomega

EC. Diferenciales con aplicaciones de modelado
Dennis
Ed.math

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada